Trigonometrìa.
La palabra trigonometrìa se deriva de dos raíces griegas: trigon que significa triàngulo y metra que significa medida. La trigonometrìa se origino como el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triàngulos y se empleo para resolver inicialmente problemas de navegación y realizar calculos astronómicos. Los babilonios y los egipcios fueron los primeros en utilizar razones trigonométricas para tomar medida en agricultura y para la construcción de pirámides. En Grecia se destacan los trabajos de Hipalco de nicea y de Claudio Tolomeo quienes construyeron las primeras tablas de las funciones trigonométricas.
A finales del siglo VIII los astrónomos emplearon la función ceno y a finales del siglo X ya se utilizaban las otras 5 funciones. La trigonometrìa árabe se difundió por medio de traducciones de libros de astronomía arabicos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. En la actualidad la trigonometrìa se usa en muchos campos del conocimiento tanto teóricos como prácticos e intervienen en gran cantidad de investigaciones geométricas y algebraicas, razón por la cual su aplicación hoy no se limita a las relaciones entre los ángulos y lados de un triàngulo.
Definición de las funciones trigonométricas en un àngulo en posición normal.
Si theta es un àngulo en posición normal y P(x,y) es cualquier punto contenido en el lado final, diferente de O(0,0) se cumple OP= r = raíz x a la 2 + y a la 2. Se define las funciones trigonométricas para el àngulo theta(θ) de la siguiente manera:
Seno θ = Sen θ = y/r
Coseno θ = Cos θ = x/r
Tangente θ = Tan θ = y/x , x = 0
Cotangente θ = Cot θ = x/y , y = 0
Secante θ = Sec θ = r/x , x = 0
Cosecante θ = Csc θ = r/y , y = 0 .
Como consecuencia de las difiniciones anteriores, se obtienen las siguientes relaciones reciprocas
Csc θ = 1/seno Cot θ = 1/tanθ Sec θ = 1/cosθ
Los valores de las funciones trigonométricas de un àngulo theta(θ) es independiente del punto que se ubique sobre su lado final de la siguiente figura se plantea una sencilla gráfica que demuestra esta afirmación.
Los triángulos ORQ y OSP son semejantes pues son rectángulos y tienen el àngulo theta(θ) en común; por lo tanto
Cabe notar que las funciones tangentes y secantes no están definidas para los ángulos +- π/2 x +- 3π/2.
De la misma manera las funciones cotangente y cosecante no están definidas para los ángulos O, +-π y +-2π Ej: si alfa es un àngulo en posición normal cuyo lado final contiene al punto A(4,-2) determina los valores de la función seno de alfa o coseno de alfa y tangente de alfa.
X= 4
Y= -2
r = √42+(-2)2=
r = √16+4 = √20
r = √20= √4x5 = √4 . √5 = 2√5
Signo de las funciones trigonométricas en un ángulo en posición normal.
Para determinar el signo en las funciones trigonométricas se debe analizar el comportamiento de : R X y Y.
Si θ es un ángulo en posición normal y P(x,y) es un punto sobre el lado final de θ diferente de (0,0).
X y Y varían dependiendo en el cuadrante que se encuentran por lo tanto el signo del valor de las funciones trigonométricas para cada ángulo depende de los signos de x, y.
En el siguiente cuadro se presentan los signos de las funciones en el ángulo θ en posición normal para los diferentes cuadrantes en que pueda estar ubicado el lado final.
Si tan θ es igual a 3/4 y lado final de θ esta en el 3 cuadrante determina el valor de sen θ y cos θ.
Si θ es un ángulo en posición normal determina los posibles valores de la función tangente si:
Si θ es un ángulo en posición normal determinar los posibles valores de la función cos θ si:
Definición de las funciones trigonométricas en un àngulo en posición normal.
Si theta es un àngulo en posición normal y P(x,y) es cualquier punto contenido en el lado final, diferente de O(0,0) se cumple OP= r = raíz x a la 2 + y a la 2. Se define las funciones trigonométricas para el àngulo theta(θ) de la siguiente manera:
Seno θ = Sen θ = y/r
Coseno θ = Cos θ = x/r
Tangente θ = Tan θ = y/x , x = 0
Cotangente θ = Cot θ = x/y , y = 0
Secante θ = Sec θ = r/x , x = 0
Cosecante θ = Csc θ = r/y , y = 0 .
Como consecuencia de las difiniciones anteriores, se obtienen las siguientes relaciones reciprocas
Csc θ = 1/seno Cot θ = 1/tanθ Sec θ = 1/cosθ
Los valores de las funciones trigonométricas de un àngulo theta(θ) es independiente del punto que se ubique sobre su lado final de la siguiente figura se plantea una sencilla gráfica que demuestra esta afirmación.
Los triángulos ORQ y OSP son semejantes pues son rectángulos y tienen el àngulo theta(θ) en común; por lo tanto
Cabe notar que las funciones tangentes y secantes no están definidas para los ángulos +- π/2 x +- 3π/2.
De la misma manera las funciones cotangente y cosecante no están definidas para los ángulos O, +-π y +-2π Ej: si alfa es un àngulo en posición normal cuyo lado final contiene al punto A(4,-2) determina los valores de la función seno de alfa o coseno de alfa y tangente de alfa.
X= 4
Y= -2
r = √42+(-2)2=
r = √16+4 = √20
r = √20= √4x5 = √4 . √5 = 2√5
Signo de las funciones trigonométricas en un ángulo en posición normal.
Para determinar el signo en las funciones trigonométricas se debe analizar el comportamiento de : R X y Y.
Si θ es un ángulo en posición normal y P(x,y) es un punto sobre el lado final de θ diferente de (0,0).
X y Y varían dependiendo en el cuadrante que se encuentran por lo tanto el signo del valor de las funciones trigonométricas para cada ángulo depende de los signos de x, y.
En el siguiente cuadro se presentan los signos de las funciones en el ángulo θ en posición normal para los diferentes cuadrantes en que pueda estar ubicado el lado final.
Si tan θ es igual a 3/4 y lado final de θ esta en el 3 cuadrante determina el valor de sen θ y cos θ.
Si θ es un ángulo en posición normal determina los posibles valores de la función tangente si:
Si θ es un ángulo en posición normal determinar los posibles valores de la función cos θ si:
No hay comentarios:
Publicar un comentario