Gráficas funciones trigonométricas 

Gráfica de la Función Seno del ángulo

El modelo de la gráfica de la función seno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función seno del ángulo utiliza la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función seno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función seno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función seno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Gráfica de la Función Coseno del ángulo

El modelo de la gráfica de la función coseno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función coseno del ángulo utiliza la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función coseno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función coseno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función coseno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Gráfica de la Función Tangente del ángulo

El modelo de la gráfica de la función tangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función tangente del ángulo es el cociente de la y y  la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función tangente del ángulo comienza en -π/2 y termina en π/2. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función tangente del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la  gráfica de la función tangente del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Gráfica de la Función Cotangente del ángulo 

El modelo de la gráfica de la función cotangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función cotangente del ángulo es el cociente de la x y la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cotangente del ángulo comienza en 0 y termina en π. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función cotangente del ángulo x.Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función cotangente del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria.

Gráfica de la Función Secante del ángulo

El modelo de la gráfica de la función secante del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas o buscando los recíprocos de la funcion coseno. Recuerde que la función secante del ángulo es el recíproco de la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función secante del ángulo comienza en -π/2 y termina en 3π/2. En la figura de la derecha se observa la relación entre la funcion coseno y la gráfica de la función secante del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función secante del ángulo xa partir de la grafica de la función coseno del ángulo.

Gráfica de la Función Cosecante del ángulo

El modelo de la gráfica de la función cosecante del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas o buscando los recíprocos de la funcion seno. Recuerde que la función cosecante del ángulo es el recíproco de la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cosecante del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de la derecha se observa la relación entre la funcion seno y la gráfica de la función cosecante del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función cosecante del ángulo x a partir de la grafica de la función seno del ángulo.

Ángulos y Sistemas de Medicion

Ángulos 

Es la unión de dos rayos o semirrectas con el mismo origen a las semirrectas se les domina lados y al origen se le llama vértice. Según esta definición del orden en el que se nombran los lados de un ángulo es indiferente. Sin embargo en el estudio de la trigonométrica es importante tener en cuenta el lado en que se nombra primero. Es decir hay diferencia en decir el ángulo CBA y el ángulo ABC ya que nos permite identificar el sentido y el ciclo del àngulo ( positivo y negativo). Considerados así los ángulos se llaman orientados.

Los ángulos también se pueden nombrar por las letras griegas


Ángulos sobre el plano cartesiano.


Un àngulo alfa se considera que esta en posición canónica o normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial es el semieje positivo de las x.

Cuando un àngulo se encuentra en posición normal el lado final indica que en que cuadrante se encuentra el àngulo o pertenece al ángulo.

Dos ángulos en posición normal pueden tener el mismo lado final en este caso se dice que los ángulos son coterminales


Medición de ángulos.

Los ángulos se miden en grados y en radianes el grado es la unidad de medida de los ángulos en el sistema cesagesimal y el radian es la unidad de medida en el sistema cíclico.

Medida de àngulo en el sistema cesagesimal.

Un ángulo generado por la rotación del lado final en uma vuelta mide 360 grados. El grado cesagesimal se define como 1= 1/360 de una vuelta.
Un grado cesagesimal equivale a 1 grado = 60 minutos y un minuto equivale 1'= 60'' segundos.

Medidas de ángulos en el sistema cíclico.

Sobre una circunferencia, un ángulo central alfa, determina un arco AB se dice que las medidas de un ángulo alfa es igual a un radial si la longitud del arco tiene las misma del radio de la circunferencia.

Equivalencia entre el sistema cesagesimal y cíclico.

Como el perímetro de todos circunferencia esta dado por 2·r donde pi es igual a 3,141594 y r es el radio de la circunferencia, la cantidad de veces que esta el radio de una circunferencia en su perímetro esta dado por el cociente 2pi·r/r = 2pi. Esto quiere decir que un ángulo completo cuya medida es de 360 equivale 2pi rad.

En las siguientes figuras se muestran algunas equivalencias entre el sistema cesagesimal y el sistema cíclico.

Longitud de un Arco

Longitud de un arco.

La longitud de un arco S descrito sobre una circunferencia se calcula mediante la expresión S=θ.r .

Velocidad Angular.

Cuando un objeto gira, su rapidez depende del ángulo que barre y del tiempo empleado en barrer dicho àngulo. Por ejemplo: En el disco gira un àngulo θ(theta) en un tiempo de     todos sus radios barren el mismo àngulo en dicho tiempo

Si un objeto gira a ángulos reales en tiempos reales se define la velocidad angular como W= θ/t. La velocidad angular se mide en radianes por segundo o radianes por horas.

El numero de vueltas que realiza un objeto en una unidad de tiempo se denomina frecuencia. Si el àngulo se mide en vueltas y el tiempo en minutos la frecuencia se expresa

Ej: Determina la velocidad angular de la volea de un motor que gira a mil revoluciones por minutos (1000rpm).

Velocidad lineal.

La velocidad lineal (V) de un punto sobre una circunferencia se define de dos maneras V= S/t ò V= r.w    V= S/t = r.θ/t = r.θ/t = r.w . Ej: Con respecto al movimiento de la tierra alrededor de su propio eje, para un punto del ecuador terrestre determinar 1 velocidad angular y 2 velocidad lineal.

1) W.

θ= 2π rad
t= 24 h

W= 2π rad/24 h

W= π/12 rad/h

2) V.

V= r.w

V= 6.375 km . π/12 rad/h

V= 6.375 x  π/12

V= 531,25π km/h .

Triangulos

Triángulos.

El triàngulo es un polígono de tres lados que da origen a tres vértices y tres ángulos internos. Es la figura mas simple, después de la recta en la geometría. Como norma general un triàngulo se representa con tres letras mayúsculas de los vértices (ABC).

De acuerdo a la longitud de sus lados, un triàngulo puede clasificarse en equilatero, donde los tres lados del triàngulo son iguales; en isósceles, el triàngulo tiene dos lados iguales y uno desigual, y en escaleno, donde el triàngulo tiene los tres lados desiguales.

También se pueden clasificar según la medida de sus ángulos, puede ser un acutángulo, donde los tres ángulos son agudos; es decir, ángulos menores que 90º. Si un triàngulo presenta un àngulo recto o àngulo de 90º se dice que es rectángulo, y si presenta a uno de los tres àngulos como obtuso; es decir, un àngulo mayor que 90º se considera como obtusángulo.

Propiedades de los triàngulos.

1. La suma de los ángulos interiores de un triàngulo es igual a 180º.

2. Todo triàngulo equilatero es equiàngulo, es decir que las medidas de los ángulos de un triàngulo son iguales.

3. Si dos lados de un triàngulo son congruentes, entonces los ángulos opuesto a estos lados son congruentes.

4. Si dos ángulos de un triàngulo son congruentes, entonces los lados opuesto a estos ángulos son congruentes.

Teorema de pitàgoras.

En un triàngulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

De esta fòrmula se obtienen las siguientes:

Ejemplo:

Trigonometria

Trigonometrìa.

La palabra trigonometrìa se deriva de dos raíces griegas: trigon que significa triàngulo y metra que significa medida. La trigonometrìa se origino como el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triàngulos y se empleo para resolver inicialmente problemas de navegación y realizar calculos astronómicos. Los babilonios y los egipcios fueron los primeros en utilizar razones trigonométricas para tomar medida en agricultura y para la construcción de pirámides. En Grecia se destacan los trabajos de Hipalco de nicea y de Claudio Tolomeo quienes construyeron las primeras tablas de las funciones trigonométricas.

A finales del siglo VIII los astrónomos emplearon la función ceno y a finales del siglo X ya se utilizaban las otras 5 funciones. La trigonometrìa árabe se difundió por medio de traducciones de libros de astronomía arabicos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. En la actualidad la trigonometrìa se usa en muchos campos del conocimiento tanto teóricos como prácticos e intervienen en gran cantidad de investigaciones geométricas y algebraicas, razón por la cual su aplicación hoy no se limita a las relaciones entre los ángulos y lados de un triàngulo.

Definición de las funciones trigonométricas en un àngulo en posición normal.

Si theta es un àngulo en posición normal y P(x,y) es cualquier punto contenido en el lado final, diferente de O(0,0) se cumple OP= r = raíz x a la 2 + y a la 2. Se define las funciones trigonométricas para el àngulo theta(θ) de la siguiente manera:

Seno θ = Sen θ = y/r
Coseno θ = Cos θ = x/r
Tangente θ = Tan θ = y/x , x = 0
Cotangente θ = Cot θ = x/y , y = 0
Secante θ = Sec θ = r/x , x = 0
Cosecante θ = Csc θ = r/y , y = 0 .

Como consecuencia de las difiniciones anteriores, se obtienen las siguientes relaciones reciprocas
Csc θ = 1/seno        Cot θ = 1/tanθ        Sec θ = 1/cosθ

Los valores de las funciones trigonométricas de un àngulo theta(θ) es independiente del punto que se ubique sobre su lado final de la siguiente figura se plantea una sencilla gráfica que demuestra esta afirmación.

Los triángulos ORQ y OSP son semejantes pues son rectángulos y tienen el àngulo theta(θ) en común; por lo tanto

Cabe notar que las funciones tangentes y secantes no están definidas para los ángulos +- π/2 x +- 3π/2.

De la misma manera las funciones cotangente y cosecante no están definidas para los ángulos O, +-π y +-2π Ej: si alfa es un àngulo en posición normal cuyo lado final contiene al punto A(4,-2) determina los valores de la función seno de alfa o coseno de alfa y tangente de alfa.

X= 4
Y= -2
r = √4²+(-2)²=
r = √16+4 = √20
r = √20= √4x5 = √4 . √5 = 2√5

Signo de las funciones trigonométricas en un ángulo en posición normal.

Para determinar el signo en las funciones trigonométricas se debe analizar el comportamiento de : R X y Y.

Si θ es un ángulo en posición normal y P(x,y) es un punto sobre el lado final de θ diferente de (0,0).

X y Y varían dependiendo en el cuadrante que se encuentran por lo tanto el signo del valor de las funciones trigonométricas para cada ángulo depende de los signos de x, y.

En el siguiente cuadro se presentan los signos de las funciones en el ángulo θ en posición normal para los diferentes cuadrantes en que pueda estar ubicado el lado final.

Si tan θ es igual a 3/4 y lado final de θ esta en el 3 cuadrante determina el valor de sen θ y cos θ.

Si θ es un ángulo en posición normal determina los posibles valores de la función tangente si:

Si θ es un ángulo en posición normal determinar los posibles valores de la función cos θ si:

Funciones Trigonométricas de los Ángulos Cuadrantales

Funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales.

Hasta el momento se han estudiado los ángulos cuyo lado final se encuentra en uno de los 4 cuadrantes, ahora es importante considerar los ángulos cuyo lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano.

A los ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con alguno de los semiejes del plano cartesiano se le llama ángulos cuadrantales.

En la siguiente figura se muestra los ángulos cuadrantales 90º, 180º, 540º, -90º y -180º.

Para determinar los funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales, se considera que sobre su lado final se encuentran algunos de los puntos:

En el siguiente cuadro se presentan los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos mayores o iguales a 0 o menores o iguales a 0.

Razones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo.

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Analiza.

¿ Cual es la medida del ángulo θ?
¿Cuanto mide el segmento AB?

Conoce.

Los triángulos rectángulos ABC y EBD son semejantes porque cumplen el criterio de semejanza Ángulo-Ángulo (los dos tienen un ángulo recto y comparten la medida del ángulo de 33,69º). Por lo tanto, el ángulo θ es congruente con el ángulo C; es decir, θ = 56,31º.

Por ser triángulos semejantes, se pueden establecer razones y proporciones entre las medidas de sus lados y así hallar la medida del segmento AB.



Por lo tanto, AB = 6.

Otro tipo de razones se pueden establecer entre las medidas de los lados y los ángulos agudos en un triángulo rectángulo. Estas razones se denominan razones trigonométricas.

Sea el triángulo rectángulo de la Figura 3.25, se definen las razones trigonométricas del ángulo B como se presenta a continuación.

Una razón trigonométrica expresa la relación entre la medida de uno de los ángulos agudos y la medida de los lados de un triángulo rectángulo.

Ejemplo 1.

Las razones trigonométricas para el ángulo agudo θ en el triángulo rectángulo ABC de la Figura 3.26 se calculan aplicando las relaciones anteriores.

Ejemplo 2.

Si se sabe que sen θ =         , es posible calcular las demás razones trigonométricas para el ángulo θ. Dado que el seno se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, se puede dibujar un triángulo rectángulo tal que θ sea uno de sus ángulos agudos, la longitud del cateto opuesto a θ sea √7u y la de la hipotenusa, 4u (Figura 3.27).

Al utilizar el teorema de Pitàgoras, se obtiene que la longitud del cateto adyacente a θ esta dada por:

De modo que, las demás razones trigonométricas se pueden calcular así:

II. Funciones trigonométricas.

• Función circular.
• Ángulos de referencia.
• Gráficas de funciones trigonométricas: seno-coseno-tangente.
• Gráficas de las funciones trigonométricas: cotangente-secante-cosecante.
• Curvas sinosoidales: traslación, ampliación, periodo y fase.

Razones trigonométricas en ángulos de 30º, 45º y 60º.

Para determinar las razones trigonometricas en ángulos de 30º y 60º se utiliza una construccion auxiliar de un triángulo equilatero:

Ángulos de 30º y 60º.

Circunferencia Unitaria

Circunferencia Unitaria.

El estudio de las funciones trigonometricas requiere el analizar de su comportamiento y de la identificacion de su dominio y su rango. Para realizar dicho analizis se considera la circunferencia de radio 1 centrada en el plano cartesiano.

La circunferencia unitaria es aquella que tiene como centro el origen del plano cartesiano y de radio la unidad.

En la figura anterior se muestra la circunferencia unitaria que contiene al punto P(x,y). Al aplicar el teorema de pitagoras se obtiene que para todo punto cumple que X²+y²=1

Si  θ es un ángulo en posición normal cuya medida es igual a t rad la medida del arco S subtendido por dicho ángulo en la circunferencia unitaria se obtienen mediante

Razones trigonometricas definidas en una circunferencia unitaria.

Si t es la medida de un arco descrito

Si la medida de un ángulo en posición normal es t radianes y el lado final del ángulo contiene al punto P(x,y) que pertenece a la circunferencia unitaria, se tiene que y= sen t y x= cos t.

A partir de las anteriores expresiones se tiene que:

Las funciones trigonométricas sen t, cos t, tan t, cot t, sec t, y csc t definidas en una circunferencia unitaria se denominan funciones circulares, Ej:

Determinar las funciones trigonométricas donde t es un numero real positivo igual a la medida del ángulo correspondiente

Trigonometria Analitica

TRIGONOMETRIA ANALITICA.

En las expresiones algebraicas se utilizan variables y constantes, cuyos valores pertenecen al conjunto de los numeros reales. En esta se aplicara algunas procedimientos utilizados en algebra a expresiones que involucran funciones trigonometricas, pues estos valores pertenecen a los numeros reales.

Operaciones algebraicas con funciones trigonometricas.

Para iniciar el estudio de las expresiones que involucran las funciones trigonometricas se estudiara, la suma, la resta, la multiplicacion y la division de estas expresiones.

Suma y Resta de expresiones trigonometricas

para resolver suma y resta de expresiones que involocruan las funciones trigonometricas debemos adjuntar los terminos semejantes y reducirlos

Nota: para  sumar numeros enteros se debe tener en cuenta sus signos.

Multiplicación de expresiones trigonométricas

para multiplicar expresiones que involucran funciones trigonométricas se aplican las propiedades de la potensiacion y la propiedad distributiva a la suma y la resta

división de expresiones trigonométricas